Control Engineering 1 · Week 10 · DC Motor의 Disturbance Rejection

실행 방법

1. 모델 유도와 Gain 계산

• $T_d$ (input): Disturbance Torque.
• ω (output): 운전점에서의 Angular Velocity Deviation [rad/s].
• $V_a$: Armature Voltage 변화.
• i: Armature Current 변화.
• 모델 가정: Armature Inductance 무시.

기호	뜻	값
$R_a$	Armature Resistance	1
$K_m$	Torque Constant	0.1
$K_b$	Back EMF Constant	0.1
J	Moment of Inertia	0.01
b	Viscous Friction Coefficient	0.001
$K_t$	Tachometer Gain	0.05

• $V_a=-K_aK_t\omega$
• $i=\frac{V_a-K_b\omega}{R_a}$
• $J\frac{d\omega}{dt}+b\omega=K_mi+T_d$

1. $V_a$의 식을 전류 i의 식에 대입하세요. 이어서 구한 i의 식을 운동방정식에 대입하고, ω와 $T_d$ 사이의 미분방정식으로 정리하세요.
2. Initial Condition을 0으로 놓고 이 미분방정식을 Laplace Transform하세요. $\Omega(s)$가 포함된 항을 한쪽으로 모은 뒤 $\frac{\Omega(s)}{T_d(s)}$를 구하세요.
3. 직접 구한 Transfer Function의 분자·분모를 차수가 높은 항부터 계수 배열로 각각 기록하세요.

• 일정한 Disturbance: $T_d=D=0.2$.
• Steady State 허용조건: $|\omega_{ss}|\le0.5$ rad/s.
• Amplifier Gain 범위: $K_a\ge0$.
• 모터 계수: 위 표의 값.

1. 앞에서 구한 미분방정식에 $T_d=D$, $\frac{d\omega}{dt}=0$, $\omega=\omega_{ss}$를 대입하세요. $\omega_{ss}$에 곱해진 계수로 양변을 나누어, $\omega_{ss}$를 $K_a$의 함수로 나타내세요.
2. 그 식을 허용조건 $|\omega_{ss}|\le\omega_{\mathrm{limit}}$에 대입하세요. $D=0.2$, $\omega_{\mathrm{limit}}=0.5$와 표의 모터 계수를 넣고, 조건을 만족하는 $K_a$의 범위를 구하세요.
3. 구한 범위에서 가장 작은 값을 $K_{a,\min}$으로 기록하세요. 결과에는 $\omega_{ss}$의 식, 수치를 대입한 부등식, $K_a$의 허용 범위와 최소값이 보이게 적으세요. 이후 MATLAB 계산과 비교할 때 이 기록을 사용합니다.

2. Open-loop Disturbance Step Response

조건	D
1	0.1
2	0.2
3	0.3

1. 각 조건의 $\omega_{ss}=D\cdot\mathrm{dcgain}(G_d)$ [rad/s]를 계산하세요.
2. 한 표에 다음 세 열을 기록하세요.

• D
• $\omega_{ss}$ [rad/s]
• $\omega_{ss}/D$

1. 세 행의 $\omega_{ss}/D$를 대조하세요. 비율이 일정한지와, 그 결과가 D와 $\omega_{ss}$의 비례 관계를 어떻게 보여 주는지 적으세요.

3. Tachometer Feedback에 따른 Disturbance Rejection

조건	$K_a$
1	10
2	20
3	40

1. 각 $K_a$에서 Gc를 다시 만들고 dcgain(Gc)를 구하세요.
2. 각 DC Gain에 D를 곱해 $\omega_{ss}$ [rad/s]를 구하세요.
3. $K_a$, DC Gain, $\omega_{ss}$를 세 열로 기록하세요.
4. 활동 1에서 기호로 유도한 계수 배열과 이 활동의 코드에 적힌 계수식을 대조하세요.
5. Gc를 정의하는 tf 호출의 첫 번째·두 번째 인수를 찾아, 분자·분모 계수 배열로 각각 적으세요.
6. 각 표현의 분모 최고차항 계수가 1이 되도록, 분자와 분모 전체를 그 계수로 함께 나누세요.
7. ‘분자/분모’를 두 행으로, ‘직접 유도한 배열/코드의 배열/일치 여부’를 세 열로 기록하세요. 같은 차수의 계수끼리 비교하고, 다른 항이 있으면 표시하세요.

4. Amplifier Gain 설계

1. 먼저 손계산에 사용한 $D=0.2$, limit=0.5로 최소 Gain을 계산하세요. ‘Amplifier Gain 설계’ 코드의 Ka_min은 $K_{a,\min}$을 계산한 값입니다. 이 출력과 활동 1에서 손으로 구한 값을 나란히 기록하세요.
2. 각 limit에서 최소 $K_a$를 계산하세요. 계산 결과 $K_{a,\min}$은 코드의 Ka_min에 해당하며, 소수 Gain을 허용합니다.

조건	limit [rad/s]
1	0.25
2	1

1. 구한 최소값보다 조금 작은 $K_a$와 큰 $K_a$를 하나씩 고르세요. 예: $0.9K_{a,\min}$, $1.1K_{a,\min}$.
2. 각 Gain을 Feedback 모델 Gc에 넣어 모델을 다시 만들고, $\omega_{ss}=D\cdot\mathrm{dcgain}(G_c)$를 구하세요.
3. 조건별 계산 결과를 한 표에 남기세요.

허용값 [rad/s]	limit
계산한 최소 Gain	$K_{a,\min}$
모델에 적용한 Gain	$K_a$
정상상태 Angular Velocity Deviation [rad/s]	$\omega_{ss}$
허용값 충족 여부	$|\omega_{ss}|\le\mathrm{limit}$의 참/거짓

1. 최소값보다 작은 Gain과 큰 Gain에서 허용값 충족 여부가 어떻게 달라지는지 적으세요. 계산한 최소값이 두 경우를 나누는 경계인지 이 표로 판단합니다.

반복 숙달과 제출 전 확인

1. 모터 계수 Ra,Km,Kb,J,b,Kt는 앞 활동의 값을 유지하세요. Ka=20, D=0.2를 지정하고 Gc=tf(1,[J b+Km/Ra*(Kt*Ka+Kb)])를 만든 뒤, step(D*Gc,0:0.005:0.05)의 마지막 값을 구하세요.
2. 그 값을 D*dcgain(Gc)와 나란히 적고 차이를 구하세요. 0.05 s에서 충분히 수렴했다고 볼 수 있는지 판단하세요.
3. 같은 Gc에 대해 종료 시간을 0.05 s에서 8 s로 늘리고, 시간 간격은 0.005 s로 유지하세요. [y_long,t_long]=step(D*Gc,0:0.005:8)을 실행한 뒤, y_long(end)와 D*dcgain(Gc)의 차이를 구하세요. 앞서 구한 0.05 s의 차이와 대조하세요.