Control Engineering 1 · Week 06 · State Transition과 시스템 응답

실행 방법

1. State Transition 계산

• 아래 일반 모델을 실행하기 전에 $A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&-2\end{array}\right]$, $\mathbf x_0=\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$, $u(t)=0$인 간단한 경우를 손으로 계산하세요.
• 대각행렬에서는 $\Phi(t)=\mathrm{diag}(e^{a_1t},e^{a_2t})$입니다.
• $\Phi(t)$와 $\mathbf x(t)=\Phi(t)\mathbf x_0$를 기호식으로 쓰고 $t=0$에서 초기값이 되는지 확인하세요.
• 전체 응답 식에서 초기 State에 의한 항과 Input에 의한 적분항을 표시하고, 여기서 어느 항이 0인지 설명하세요.
• $t=1$의 값은 지수함수 형태로 둔 뒤 손계산에 사용한 모델을 별도 변수 A_check=diag([-1 -2]), x0_check=[2;1]로 지정하고 expm(A_check)*x0_check와 대조하세요.
• 이 계산을 실습용 Live Script의 ‘2. State Transition Matrix’ 코드의 기준 예측으로 사용하세요.

2. State Transition Matrix

1. 실습용 Live Script의 ‘2. State Transition Matrix’ 코드의 같은 A에서 $t\in\{0,0.5,1\}$의 Phi=expm(A*t)를 구해 행렬을 기록하세요.
2. norm(expm(A)-expm(A*0.5)*expm(A*0.5))를 구해 잔차를 기록하세요. 이 값이 0에 가까운지 보고 $\Phi(1)=\Phi(0.5)\Phi(0.5)$와 대조합니다.
3. 같은 $t=0.5$에서 계산한 Phi-exp(A*0.5)와 연결해, State Transition에 exp 대신 expm을 쓰는 이유를 설명하세요.

3. State Trajectory 비교

1. 같은 A와 시간축에서 Initial State를 [1;0]에서 [0;1]로 바꾸어 X를 다시 계산하세요.
2. Position X(1,:)와 Linear Velocity X(2,:)의 그림에 변경 전후 곡선을 각각 표시하세요. 범례에는 Initial State를 적으세요.
3. Position의 초기값이 0이어도 이후 값이 변하는 이유를 Linear Velocity의 초기값과 연결해 설명하세요.

4. 전체 응답의 분해

1. ‘전체 응답의 분해’ 코드에 정의된 sys,t를 사용해 다음 두 경우를 각각 계산하세요.

• 입력 u=2*ones(size(t)), 기준 Initial State x0=[1;0].
• 입력 크기 2를 유지한 u=2*ones(size(t)), Initial State x0=[0;1].

1. 각 경우에 전체 출력 lsim(sys,u,t,x0), Initial State에 의한 출력 initial(sys,x0,t), 입력에 의한 출력 lsim(sys,u,t)를 구하세요.
2. max(abs(yTotal-yInitial-yInput))를 기록하고, 세 출력의 관계를 설명하세요.
3. 입력만 두 배로 한 경우의 전체 출력을 기준 전체 출력의 두 배와 대조하세요. Initial State에 의한 출력도 두 배가 되는지 구분해 판단하세요.

반복 숙달과 제출 전 확인

1. 실습용 Live Script의 ‘2. State Transition Matrix’ 코드의 같은 A에서 expm(A*0.5)*[1 0]을 별도 줄로 시험하고, 두 행렬의 크기와 오류 메시지를 기록하세요.
2. Initial State만 열벡터 [1;0]로 바꾸어 계산하세요. 결과의 두 성분을 적고 잘못된 입력 줄은 수정된 줄로 대체하세요.