Linearity에서 Laplace Transform까지

제어공학1 · 3주차

이번 주 목표 · LTI 가정을 판별하고 시간 영역의 Differential Equation을 변환합니다.

실행: MathWorks 로그인 후 내 작업 공간의 .mlx를 엽니다. 코드 안 클릭 → Live Editor → Run Section으로 한 Section씩 실행하세요. Run은 전체 실행입니다. 값 수정 후에는 관련 Section을 다시 실행해야 합니다. ⟦직접 입력⟧ 작성란은 설명을 직접 수정하며 실행하지 않습니다. Windows/Linux는 Ctrl+Enter, Mac은 ⌘+Enter를 사용할 수 있습니다.

1. Linearity은 두 조건의 결합

입력을 더했을 때 출력도 더해지고, 입력을 a배 하면 출력도 a배가 되어야 선형입니다. $y=3x$ 는 선형이지만 $y=3x+1$ 은 입력 0에도 출력 1이므로 선형이 아닙니다.

Linearity은 두 조건의 결합

$y=x^2$ 은 2를 입력했을 때 4이지만 1을 두 번 따로 입력한 출력의 합은 2입니다. 한 반례로 비선형을 보일 수 있지만 몇 개의 수치 예만으로 모든 입력에 대해 선형임을 증명할 수는 없습니다.

2. 시간 이동과 시스템 변화 구분

Time Invariance은 같은 입력을 늦게 넣으면 출력도 그만큼 늦게 나오는 성질입니다. $y=3x(t)$ 는 Time-invariant이고 $y=\cos(t)x(t)$ 는 입력 시점에 따라 곱해지는 값이 달라져 Time-varying입니다.

시간 이동과 시스템 변화 구분

입력이 시간에 따라 변한다는 것과 시스템이 시변이라는 것은 다릅니다. 미분 연산은 통상적인 신호 가정에서 선형·시불변 연산입니다.

3. 근사는 Operating Point(동작점) 근처에서

$\sin x\approx x$ 는 라디안으로 측정한 x가 0 근처일 때의 근사입니다. Operating Point $\mathbf x_0$ 주변에서는 f(x)≈f( $\mathbf x_0$ )+f′( $\mathbf x_0$ )(x− $\mathbf x_0$ )로 씁니다. 오차를 그래프로 확인하면 범위를 판단하기 쉽습니다.

근사는 Operating Point 근처에서

δx=x− $\mathbf x_0$ , δy=f(x)−f( $\mathbf x_0$ )라고 두면 앞의 식은 δy≈f′( $\mathbf x_0$ )δx가 됩니다. 예를 들어 f(x)=x²을 $\mathbf x_0$ =2 근처에서 보면 기울기는 4이므로 입력이 0.1 늘 때 출력은 약 0.4 늘 것으로 예상합니다. 실제 변화는 2.1²−2²=0.41입니다. 이처럼 근사는 기준점 근처의 작은 변화를 설명하며, 멀리 떨어진 값까지 같은 정확도로 맞히지는 않습니다.

4. 미분을 대수식으로 바꾸기

Laplace Transform에서 미분은 s와 초기값으로 표현됩니다. L{x′}=sX−x(0)입니다. Initial Condition이 모두 0이면 Differential Equation에서 입력과 출력의 비율을 구하기 쉬워집니다.

미분을 대수식으로 바꾸기

Symbolic Math Toolbox의 laplace와 ilaplace로 결과를 확인합니다. 변수를 t와 s로 명시하고, 역변환 결과를 원래 방정식에 대입하면 계산을 검증할 수 있습니다.

학습 내용 확인

코드에 넣을 값은 무엇이며, 결과 배열의 각 행·열은 무엇을 뜻하나요? 물리량을 계산한다면 단위도 확인했나요?
조건을 하나 바꿨을 때 다시 실행해야 하는 부분을 찾을 수 있나요?
실행 결과가 예상과 맞나요? 다르다면 출력값이나 그래프를 보고 이유를 설명할 수 있나요?

MATLAB 공식 문서 · Control System Toolbox

실습 자료

Control_Engineering_1_Week03_LtiLaplace.mlxmlx 스크립트 미리보기 · mlx 스크립트 다운로드