Closed-loop Gain과 Sensitivity

예를 들어 Amplifier Gain이 1% 바뀔 때 전체 Gain도 약 1% 바뀌면 Sensitivity는 1입니다. 전체 Gain이 약 0.1%만 바뀌면 Sensitivity는 0.1입니다. 서로 크기가 다른 값의 변화 정도를 비교하려고, 변화량 자체 대신 각 값의 원래 크기에 대한 비율을 사용합니다.

$K_a$의 상대 변화는 $\Delta K_a/K_a$, $T$의 상대 변화는 $\Delta T/T$입니다. 아주 작은 변화에서 두 비율의 관계를 나타내는 Normalized Sensitivity는

$$S_{K_a}^T=\frac{K_a}{T}\frac{dT}{dK_a}$$

입니다. 아래에서 구하는 미분은 전체 Gain이 Amplifier Gain의 작은 변화에 얼마나 반응하는지 나타냅니다.

$\beta$를 고정하고 방금 구한 $T$를 미분하면, 분수의 미분법에 따라

$$\frac{dT}{dK_a}=\frac{(1+\beta K_a)-\beta K_a}{(1+\beta K_a)^2}=\frac1{(1+\beta K_a)^2}.$$

여기에 앞에서 구한 $K_a/T=1+\beta K_a$를 곱하면

$$S_{K_a}^T=\frac{K_a}{T}\frac{dT}{dK_a}=\frac1{1+\beta K_a}.$$

전체 Gain을 구한 식이 Normalized Sensitivity 계산에 모두 사용됩니다. $\beta K_a$가 커질수록 이 비율이 작아지므로 같은 Amplifier Gain 변화에 대해 전체 Gain은 덜 변합니다.

강의의 반전 증폭기는 $T=-K_a/(1+\beta K_a)$로 표시됩니다. 이 경우 $T$와 미분값에 모두 음의 부호가 붙어 Normalized Sensitivity는 위와 같습니다.

이 예는 시간이 흐르는 동안의 변화와 잡음을 생략한 증폭기 모델입니다. 실제 제어기에서는 Gain을 키울 때 진동이나 측정 잡음의 영향도 함께 확인해야 합니다.

변경 전 값을 $K_0$, 그때의 전체 Gain을 $T_0=T(K_0)$라고 합시다. 3주차의 Linear Approximation처럼 기준점의 기울기로 변화량을 추정하면

$$\Delta T\approx T'(K_0)\Delta K_a.$$

양변을 $T_0$로 나누고 $K_0$를 곱했다가 나누면, 앞에서 구한 Sensitivity가 나타납니다.

$$\frac{\Delta T}{T_0}\approx\left[\frac{K_0}{T_0}T'(K_0)\right]\frac{\Delta K_a}{K_0}=S_0\frac{\Delta K_a}{K_0}.$$

따라서 +10% 변화에는 $S_0\times0.1$을 사용합니다. 이는 기준점의 기울기를 이용한 추정입니다. 정확한 값은 새 Gain을 원래 $T(K_a)$ 식에 넣어 $T_1$을 구한 뒤 $(T_1-T_0)/T_0$로 계산합니다. 두 방법 모두 분모는 변경 전 $T_0$입니다. 백분율로 표시할 때만 마지막에 100을 곱합니다.

실습에서는 변화율 1%·10%·20%를 비교합니다. 변화가 클수록 기준점의 기울기만으로 추정한 결과가 실제 변화에서 얼마나 멀어지는지 확인하세요.

β를 바꾸면 목표 Gain도 바뀝니다. 같은 목표를 유지하는 비교인지, Feedback 정도를 바꾸는 비교인지 실험 목적을 적으세요.