강의자료 · 제어공학2

제어공학2 5주차 - Note 1

Symbolic calculation and Laplace transform with python

Symbolic Calculation

sympy library 설치

!pip install sympy
Requirement already satisfied: sympy in /usr/local/lib/python3.10/dist-packages (1.12)
Requirement already satisfied: mpmath>=0.19 in /usr/local/lib/python3.10/dist-packages (from sympy) (1.3.0)

sympy library import

import sympy as sym

수식이 latex 포멧으로 출력되도록 init_printing 함수 호출

sym.init_printing(use_latex='mathjax')

변수를 symbol로 선언하고, 다항식 표현하기

x, y, z = sym.symbols('x y z')
( 5*x**3 - x**2 + 3*x - 1 ) + ( -x**3 + 2*x**2 + 5 )
   3    2          
4⋅x  + x  + 3⋅x + 4

다항식을 변수에 저장하기

A = -3*x*y + x**2 + 2*y**2 + x
B = ( x**2 + x - 2 ) * ( 3*x - 1 )
A, B
⎛ 2                  2            ⎛ 2        ⎞⎞
⎝x  - 3⋅x⋅y + x + 2⋅y , (3⋅x - 1)⋅⎝x  + x - 2⎠⎠

다항식을 symbol ’x’를 기준으로 정리하기

sym.collect( A, x )
 2                    2
x  + x⋅(1 - 3⋅y) + 2⋅y

다항식을 전개하기

sym.expand(B)
   3      2          
3⋅x  + 2⋅x  - 7⋅x + 2

인수분해가 가능한 다항식을 C에 입력하기

C = 2*x**2 + 5*x*y + 3*y**2 + 3*x + 5*y - 2
C
   2                    2          
2⋅x  + 5⋅x⋅y + 3⋅x + 3⋅y  + 5⋅y - 2

다항식 C를 인수분해하기

sym.factor(C)
(x + y + 2)⋅(2⋅x + 3⋅y - 1)

분수 형태의 다항식을 D에 입력하기

D = ( x**2 - 2*x + 1 ) / ( x**2 - 3*x + 2 )
D
 2          
x  - 2⋅x + 1
────────────
 2          
x  - 3⋅x + 2

분모 분자를 인수분해 후 소거 가능한 항 소거하기

sym.cancel(D)
x - 1
─────
x - 2

분수의 덧셈 형태의 다항식을 E에 입력하기

E = 1/(x-1) + 2/(x+2)
E
  2       1  
───── + ─────
x + 2   x - 1

통분 후 소거 가능한 항 소거하기

sym.cancel(E)
   3⋅x    
──────────
 2        
x  + x - 2

문자 언더바 ’_’ >> 직전 출력을 의미

sym.factor(_)
      3⋅x      
───────────────
(x - 1)⋅(x + 2)

매우 복잡한 형태의 다항식을 F에 입력하기

F = ( x - 1 + 1/(x-1) ) / ( x - 1 - 1/(x-1) )
F
          1  
x - 1 + ─────
        x - 1
─────────────
          1  
x - 1 - ─────
        x - 1

복잡한 다항식을 가능한 한 간단하게 정리하기

sym.simplify(F)
 2          
x  - 2⋅x + 2
────────────
 x⋅(x - 2)

Laplace Transform

Laplace transform에서 활용할 변수 t, s를 symbol로 선언하고 함수 f 정의하기

t, s = sym.symbols('t, s')
a = sym.symbols('a', real=True, positive=True)
f = sym.exp(-a*t)
f
exp(-a*t)

Laplace transform 하기

F = sym.laplace_transform(f, t, s)
F
⎛  1            ⎞
⎜─────, -a, True⎟
⎝a + s          ⎠

Laplace transform이 가능한 조건 출력을 생략하기

F = sym.laplace_transform(f, t, s, noconds=True)
F
  1  
─────
a + s

Laplace transform을 간소하게 처리할 수 있도록 함수 정의하기

def L(f):
    return sym.laplace_transform(f, t, s, noconds=True)

def invL(F):
    return sym.inverse_laplace_transform(F, s, t)
L(f)
  1  
─────
a + s
invL(F)
 -a⋅t     
ℯ    ⋅θ(t)

θ(t)\theta(t)는 unit step function을 의미한다

sym.Heaviside(t)
θ(t)
sym.plot(sym.Heaviside(t), xlim=(-1, 3), ylim=(0, 1.5))
<Figure size 640x480 with 1 Axes>
실행 결과
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7b32d9367550>

함수 내 변수에 특정 숫자를 대입하는 방법

invL(F).subs({a: 2})
 -2⋅t     
ℯ    ⋅θ(t)

다양한 함수를 Laplace transform 해보기

omega = sym.symbols('omega', real=True)
theta = sym.Function('theta')(t)
exp = sym.exp
sin = sym.sin
cos = sym.cos
functions = [1,
         t,
         exp(-a*t),
         t*exp(-a*t),
         t**2*exp(-a*t),
         sin(omega*t),
         cos(omega*t),
         1 - exp(-a*t),
         exp(-a*t)*sin(omega*t),
         exp(-a*t)*cos(omega*t),
         sym.diff(theta,t)
         ]
functions
[1,
 t,
 exp(-a*t),
 t*exp(-a*t),
 t**2*exp(-a*t),
 sin(omega*t),
 cos(omega*t),
 1 - exp(-a*t),
 exp(-a*t)*sin(omega*t),
 exp(-a*t)*cos(omega*t),
 Derivative(theta(t), t)]

다양한 함수를 inverse Laplace transform 해보기

L(sym.diff(theta,t)).subs({theta.subs({t:0}):0})
s*LaplaceTransform(theta(t), t, s)
Fs = [L(f) for f in functions]
Fs
[1/s,
 s**(-2),
 1/(a + s),
 (a + s)**(-2),
 2/(a + s)**3,
 omega/(omega**2 + s**2),
 s/(omega**2 + s**2),
 -1/(a + s) + 1/s,
 omega/(omega**2 + (a + s)**2),
 (a + s)/(omega**2 + (a + s)**2),
 s*LaplaceTransform(theta(t), t, s) - theta(0)]