Laplace Transform · 학습

실행 조건

MATLAB: Symbolic Math Toolbox 필요.

ver('symbolic') 결과가 비어 있으면 MATLAB의 Add-Ons에서 Symbolic Math Toolbox를 설치하세요.

시간 영역의 Differential Equation을 변환해 푼 답이 원래 문제를 만족하는지 직접 검증합니다.

Differential Equation·초기값 → s 영역의 식 → Y(s) → Time Response·잔차

분수식의 공통 인자를 지우면 계산은 쉬워집니다. 하지만 원래 분모가 0이 되는 값은 계속 제외해야 합니다. 예를 들어

\frac{x-1}{x-1}

은

x\ne1

에서 1이고,

x=1

에서는 원래 식에 값을 대입할 수 없습니다.

\dot y+2y=1

에 Laplace Transform을 적용하면 입력과 Initial State의 영향이 별도 항으로 나타납니다.

(s+2)Y(s)=\frac{1}{s}+y(0)

초기값이 다를 때의 두 해는 다음과 같습니다.

y(t)=\frac12+\left(y(0)-\frac12\right)e^{-2t}

y(0)=0과 1을 대입하면 Steady State 값은 같고 시작점과 Transient Response는 달라집니다.

\dot y+2y=1

에서 y(0)=0과 1을 비교합니다. 두 해를 같은 시간축으로 그리고 초기값·Steady State 값을 확인합니다.

%% Worked example

t=linspace(0,4,401)';

figure; hold on

for initialValue=[0 1]

y=.5+(initialValue-.5)*exp(-2*t);

plot(t,y,'DisplayName',sprintf('y(0)=%g',initialValue));

end

yline(.5,'--'); xlabel('Time [s]'); ylabel('y'); legend; grid on

추가 예제 보기

참고 자료