Laplace Transform

학습 목표

시간 영역의 Differential Equation을 변환해 푼 답이 원래 문제를 만족하는지 직접 검증합니다.

식을 정리해도 값이 같은지 확인하기

시작 조건

$D=\frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2}$ 를 약분합니다. 값 비교에는 $x\in\{0,3\}$ 을 사용합니다.

진행 방법

D를 약분하고, 원래 분모가 0이 되는 x를 따로 표시하세요.
$x\in\{0,3\}$ 에서 약분 전후 값이 같은지 확인하세요. $x\in\{1,2\}$ 는 왜 같은 방식으로 확인할 수 없는지 설명합니다.

남길 결과

약분 전후 식과 제외할 값, 두 점의 대입 결과.

import sympy as sym
x=sym.symbols('x')
D=(x**2-2*x+1)/(x**2-3*x+2)
print('약분:',sym.cancel(D))
print('원래 분모의 근:',sym.solve(x**2-3*x+2,x))
# TODO: x=0,3의 값을 대조하고 제외한 두 점을 설명하세요.

결과 기록·자가 점검

약분 전 식:

약분 후 식:

대입에서 제외할 x:

두 점의 값 차이:

확인할 점

원래 분모가 0인 두 값을 모두 표시했는가?
약분한 식만 보고 $x=1$ 을 원래 식에 대입하지 않았는가?

Laplace Transform과 역변환

시작 조건

t>0에서 $f(t)=e^{-2t}$ 를 변환하고 다시 역변환합니다.

진행 방법

sym.laplace_transform과 inverse_laplace_transform를 사용해 변환·역변환을 구하세요.
$t\in\{.5,1,2\}$ 에서 원래 함수와 복원한 함수의 값을 대조하세요.
변환식의 Pole −2와 시간 영역의 감쇠 항 $e^{-2t}$ 를 연결해 설명하세요.

남길 결과

F(s)·복원한 함수·수치 차이의 짧은 표.

import sympy as sym
t=sym.symbols('t',positive=True);s=sym.symbols('s')
f=sym.exp(-2*t)
F=sym.laplace_transform(f,t,s,noconds=True)
restored=sym.inverse_laplace_transform(F,s,t)
print(F,restored)
# TODO: 지정한 세 시각에서 차이를 확인하세요.

결과 기록·자가 점검

함수:

F(s):

역변환:

최대 수치 오차:

확인할 점

t의 양수 가정과 Initial Condition을 기록했는가?
같은 t>0에서 원함수와 역변환의 수치 오차가 1e-8 이하인가?

Initial Condition이 있는 Differential Equation

시작 조건

$\dot y+2y=1$ , y(0)=0과 y(0)=1을 비교합니다. 입력은 t≥0의 단위 계단입니다.

진행 방법

미분항의 Laplace Transform을 쓰고 Initial Condition을 대입해 $(s+2)Y(s)=\frac1s+y(0)$ 를 얻으세요.
이 식의 양변을 $s+2$ 로 나누어 $Y(s)$ 를 구하세요. 두 Initial Condition을 각각 대입하고 역변환한 $y(t)$ 를 $0\le t\le4$ s에 함께 그리세요.
각 $y(t)$ 에서 $\frac{dy}{dt}+2y-1$ 과 $y(0)-y_0$ 를 계산하세요. 두 잔차를 Initial Condition별로 기록하고 0인지 판단하세요.

남길 결과

두 응답 곡선과 잔차 표, Initial Condition의 역할 짧은 설명.

import sympy as sym
t=sym.symbols('t',positive=True); s=sym.symbols('s')
for y0 in [0,1]:
    Y=(1/s+y0)/(s+2)
    y=sym.inverse_laplace_transform(Y,s,t)
    print(y0,y)
# TODO: 잔차 확인과 그래프를 추가하세요.

결과 기록·자가 점검

y(0):

Y(s):

초기값 잔차:

ODE 잔차:

Steady State 값:

확인할 점

입력과 Initial Condition이 서로 다른 항으로 들어갔는가?
심볼릭 잔차가 0이고 두 응답의 Steady State 값이 같은가?