Model Uncertainty와 Robustness · 학습

실행 조건

MATLAB · Control System Toolbox

한 모델에서 설계한 제어기를 여러 실제 모델과 지연 조건에 적용해 성능이 나빠지는 지점을 찾습니다.

Plant는

m\ddot y+b\dot y+ky=u

이며, State Feedback Gain은

K=\left[\begin{array}{cc}6&3\end{array}\right]

로 고정합니다. 질량

m\in\{0.7,1,1.3\}

, 감쇠

b\in\{2,3,4\}

, 강성

k\in\{1,2,3\}

의 모든 조합을 사용하므로 검사할 모델은

3^3=27

개입니다.

각 모델의 Pole로 안정성을 판단하고, Step Response에서 Steady State 오차와 Settling Time을 비교합니다. 27개 조합의 성능 표는 선택한 값들에서의 결과입니다.

입력 지연과 포화를 적용하기 전 선형 모델의 안정성은 Characteristic Polynomial

ms^2+(b+3)s+(k+6)

로 판단할 수 있습니다. 2차 다항식의 세 계수가 모두 양수이면 Pole의 실수부는 음수입니다. 주어진

m,b,k

구간에서는 세 계수가 모두 양수이므로 구간 전체에서 안정합니다.

응답 속도와 오차는 매개변수에 따라 달라집니다.

설계한 Gain을 고정하고 Plant의 질량·감쇠·강성만 바꿉니다. 각 조합의 Pole은 안정성을, 응답 곡선은 Overshoot와 Settling Time의 변화를 보여줍니다.

같은 제어기를 유지하고 질량만 바꾸어 Pole과 Time Response의 차이를 비교합니다.

%% Worked example

A0=[0 1;-2 -3]; B0=[0;1]; C=[1 0]; K=place(A0,B0,[-2 -4]); N=8;

t=linspace(0,6,1201)'; figure; hold on

for m=[.7 1 1.3]

A=[0 1;-2/m -3/m]; B=[0;1/m]; p=eig(A-B*K);

y=lsim(ss(A-B*K,B*N,C,0),ones(size(t)),t);

fprintf('mass %.2f\n',m); disp(p); plot(t,y,'DisplayName',sprintf('m=%g',m));

mass 0.70
   -1.6516
   -6.9199

mass 1.00
    -2
    -4

mass 1.30
  -2.3077 + 0.9102i
  -2.3077 - 0.9102i

end

xlabel('Time [s]'); ylabel('Position'); legend; grid on