State Feedback과 Observer · 학습
이번에 배울 내용
위치만 측정하는 시스템에서 속도를 추정해 제어하고, 추정 속도와 잡음 민감도를 함께 비교합니다.
설계 전에 확인할 두 조건
Controllability는 입력으로 상태를 움직일 수 있는지, Observability는 출력의 시간 변화로 Initial State를 구분할 수 있는지를 묻습니다. 두 상태 모델에서는 [B, AB]와 [C; CA]의 rank를 상태 수 2와 비교합니다.
측정하지 않은 상태로 제어하기
State Feedback 에서 속도를 직접 측정하지 못하면 추정 상태를 사용합니다. Observer는 모델 예측에 측정 오차를 더해 갱신합니다.
이상적인 선형 모델에서는 제어기와 추정기의 Pole을 따로 설계할 수 있습니다. 하지만 Observer를 지나치게 빠르게 하면 측정 잡음이 제어입력으로 전달되는 영향도 살펴봐야 합니다.
MATLAB으로 같은 설계 확인하기
Observer의 상태 추정 오차는 입력과 무관하게 로 정해집니다. Controller의 Pole과 Observer의 Pole을 각각 배치한 뒤, 실제 상태와 추정 상태의 차이를 시간축에서 비교합니다.
같은 모델의 제어기와 추정기
두 Pole 배치 결과를 계산하고 입력과 무관한 추정 오차의 수렴을 확인합니다.
import numpy as np
from scipy.signal import place_poles, StateSpace, lsim
import matplotlib.pyplot as plt
A=np.array([[0.,1.],[-2.,-3.]])
B=np.array([[0.],[1.]])
C=np.array([[1.,0.]])
K=place_poles(A,B,[-2.,-4.]).gain_matrix
L=place_poles(A.T,C.T,[-8.,-10.]).gain_matrix.T
print('K =',K,'L =',L.ravel())
assert np.allclose(K,[[6.,3.]]) and np.allclose(L.ravel(),[15.,33.])
t=np.linspace(0,4,801)
_,error,_=lsim(StateSpace(A-L@C,np.zeros((2,1)),np.eye(2),np.zeros((2,1))),np.zeros(len(t)),t,X0=[1.,0.])
fig,axes=plt.subplots(2,1,sharex=True)
for j,unit in enumerate(['Position error [m]','Velocity error [m/s]']):
axes[j].plot(t,error[:,j]);axes[j].set_ylabel(unit);axes[j].grid()
axes[-1].set_xlabel('Time [s]')
print('error at 4 s:',error[-1])
K = [[6. 3.]] L = [15. 33.] error at 4 s: [-3.16455446e-14 -2.21548551e-13]
