System Modeling

실행 준비

Python 경로는 python-control을 사용합니다. 모듈이 없으면 Colab·Jupyter의 코드 셀에서 %pip install control==0.10.2를 실행하세요.

학습 목표

질량이나 저항을 바꿀 때 Transient Response와 Steady-State Value 중 무엇이 변하는지 모델로 판단합니다.

Cruise 모델과 단위

시작 조건

$m=1000$ kg, $b=50$ N·s/m, 힘 500 N. State와 Output은 Velocity [m/s]입니다.

진행 방법

$A=-b/m$ , $B=1/m$ , $C=1$ , $D=0$ 으로 모델을 만들고 500 N의 일정한 힘에 대한 $0\le t\le150$ s 응답을 그리세요.
$m\in\{500,1000,1500\}$ 만 바꾸고 같은 힘을 입력하세요. $m\dot v+bv=500$ 에 $\dot v=0$ 을 대입해 Steady-State Velocity를 구하고, $\dot v+(b/m)v=500/m$ 의 계수를 1차 표준형과 대응시켜 Time Constant를 구하세요.
질량별로 계산한 Steady-State Velocity와 시뮬레이션 마지막 표본 $v(150)$ 를 나란히 기록하세요. 곡선이 계산한 Steady-State Velocity의 약 63.2%에 도달하는 시각을 찾아, 계산한 Time Constant와 대조하세요.

남길 결과

질량 3조건 표, Velocity 곡선 1개, 질량이 바꾼 특성 짧은 설명.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
s = ctl.tf('s')
m=1000.; b=50.; force=500.
G=ctl.ss([[-b/m]],[[1/m]],[[1]],[[0]])
t=np.linspace(0,150,1501)
t,v=ctl.step_response(force*G,t)
plt.plot(t,v); plt.xlabel('Time [s]'); plt.ylabel('Speed [m/s]'); plt.grid()
# TODO: 질량 3조건과 식으로 예상한 값을 비교하세요.

결과 기록·자가 점검

m [kg]:

예상 최종 속도 [m/s]:

측정 속도 [m/s]:

Time Constant [s]:

확인할 점

입력 힘 500을 중복 곱하지 않았는가?
같은 b에서 질량 변화가 Steady-State Velocity보다 Time Constant에 영향을 주는가?

Motor 모델의 계수 비교

시작 조건

$J=.01$ , $b=.1$ , $K=.01$ , $L=.5$ . $R\in\{.5,1,2\}$ Ω를 비교하며 입력은 1 V입니다.

진행 방법

$G(s)=\frac K{(Js+b)(Ls+R)+K^2}$ 를 만들고 $0\le t\le 10$ s 응답을 구하세요.
각 R에서 Pole·DC Gain·최종 출력값을 표에 적으세요.
전기 저항과 관성 계수가 식의 어느 항을 바꾸는지 설명하세요.

남길 결과

응답 3곡선과 계수 표 1개.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
s = ctl.tf('s')
J=.01; b=.1; K=.01; L=.5
for R in [.5,1.,2.]:
    G=K/((J*s+b)*(L*s+R)+K**2)
    print(R,ctl.poles(G),ctl.dcgain(G))
# TODO: 같은 시간축의 응답을 추가하세요.

결과 기록·자가 점검

R [Ω]:

Pole:

DC Gain:

최종 속도 [rad/s]:

확인할 점

모든 조건에서 같은 J·b·K·L·입력을 사용했는가?
장기 출력과 1 V×DC Gain을 비교했는가?

측정한 응답에서 모델 추정하기

시작 조건

센서의 합성 Step 기록 $y=1.8(1-e^{-t/3})+\text{잡음}$ 입니다. $0\le t\le 15$ s, 151점, 잡음 표준편차 .03, seed=7입니다.

진행 방법

제공된 측정 배열을 curve_fit의 목표값으로 사용하고, $K(1-e^{-t/\tau})$ 의 $K,\tau$ 를 추정하세요.
전체 $0$ – $15$ s와 앞 $0$ – $3$ s의 표본에 각각 같은 추정을 적용하세요. 구간별 사용 표본 수·추정한 $K,\tau$ 를 표로 적으세요.
각 추정 곡선을 측정값과 같은 시간축에 그리고, 잔차는 측정값−추정값으로 그리세요. 곡선의 최종값과 잔차 형태를 근거로 더 측정하고 싶은 시간 구간 하나를 정하고 이유를 적으세요.

남길 결과

두 측정 구간의 추정값 표와 응답·잔차 그림.

from scipy.optimize import curve_fit
rng=np.random.default_rng(7); tm=np.linspace(0,15,151)
measured=1.8*(1-np.exp(-tm/3))+rng.normal(0,.03,len(tm))
def response(t,gain,tau):return gain*(1-np.exp(-t/tau))
for end in [3,15]:
    select=tm<=end
    parameters,_=curve_fit(response,tm[select],measured[select],p0=[1,2],bounds=(0,np.inf))
    print(end,parameters)
# TODO: 곡선과 잔차를 같은 시간축으로 비교하세요.

결과 기록·자가 점검

기록 구간 [s]:

추정 Gain:

추정 Time Constant [s]:

RMSE:

확인할 점

실제 측정처럼 합성 자료의 설정값을 모른다고 가정하고 추정했는가?
기록이 짧을 때의 불확실성을 잔차 크기만으로 판단하지 않았는가?

공식 예제·데이터

SciPy · curve_fit