Transfer Function

학습 목표

같은 계수라도 연결 방식이나 상쇄 조건에 따라 응답이 달라집니다. 계수에서 동작을 예측하는 연습입니다.

실행 조건

Pole과 Zero는 python-control의 ctl.poles와 ctl.zeros로 구합니다.

모듈이 없으면 Colab·Jupyter 코드 셀에서 %pip install control==0.10.2를 실행하세요.

계수에서 Pole·Zero로

num: 분자 다항식의 계수 배열.
den: 분모 다항식의 계수 배열.
배열 순서: 차수가 높은 항부터.

시작 조건

A: $\mathrm{num}=[2]$ , $\mathrm{den}=[5,1]$ .
B: $\mathrm{num}=[1,2]$ , $\mathrm{den}=[1,3,2]$ .
C: $\mathrm{num}=[1,1]$ , $\mathrm{den}=[1,2,5]$ .

진행 방법

A를 기준 예제로 실행하세요. 분자·분모를 다항식으로 쓰고 np.roots와 ctl.poles/ctl.zeros로 계산합니다.
B와 C에도 같은 절차를 적용하세요. 분자·분모의 차수와 유한 Zero 개수를 구분하고, 복소근은 실수부·허수부를 함께 기록합니다.
세 모델의 Pole·Zero를 한 복소평면에 표시하세요. Pole은 ×, Zero는 ○로 구분하고 모델별 색을 달리합니다.

남길 결과

모델당 한 행인 표 1개와 Pole–Zero map 1개.
A의 예시 수준: H(s)=2/(5s+1), Pole -0.2, 유한 Zero 없음. B·C는 직접 채웁니다.
계수와 근이 어떻게 연결되는지 간단히 설명합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
s = ctl.tf('s')
models = {'A':([2],[5,1]), 'B':([1,2],[1,3,2]), 'C':([1,1],[1,2,5])}
H_A = ctl.tf(*models['A'])
print(H_A, ctl.poles(H_A), ctl.zeros(H_A), ctl.dcgain(H_A))
# TODO: B, C의 표와 복소평면 그림을 완성하세요.

결과 기록·자가 점검

모델:

H(s):

Pole:

유한 Zero:

DC Gain:

확인할 점

계수로 직접 구한 근과 라이브러리 결과가 순서를 제외하고 일치하는가?
DC Gain은 분모의 상수항이 0이 아닐 때 상수항의 비와 일치하는가?

직렬·병렬·Feedback 대조

시작 조건

$H_1(s)=\frac2s$ , $H_2(s)=\frac3{4s+1}$ . Feedback은 $H_1H_2$ 에 대한 음의 단위 Feedback입니다.

진행 방법

$H_s=H_1H_2$ , $H_p=H_1+H_2$ , $T=\frac{H_s}{1+H_s}$ 를 식으로 구하세요.
ctl.series, ctl.parallel, ctl.feedback로 같은 모델을 만들고, ω=[0.1,1,10] rad/s에서 직접 만든 식과 비교하세요.
T의 Unit Step을 $0\le t\le 50$ s에서 그리세요. Hs·Hp의 원점 Pole과 DC Gain의 의미를 구분합니다.

남길 결과

연결 3종의 계수 표 1개와 T의 Step plot 1개.
오차는 같은 주파수에서 복소 응답 차이의 절댓값으로 기록합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
s = ctl.tf('s')
H1=ctl.tf([2],[1,0]); H2=ctl.tf([3],[4,1])
Hs=ctl.series(H1,H2); Hp=ctl.parallel(H1,H2); T=ctl.feedback(Hs,1)
print(Hs, Hp, T)
t=np.linspace(0,50,2501)
t,y=ctl.step_response(T,t)
plt.plot(t,y); plt.xlabel('Time [s]'); plt.ylabel('Output'); plt.grid()
# TODO: 직접 계산한 모델과 주파수응답을 비교하세요.

결과 기록·자가 점검

연결:

직접 구한 분자:

직접 구한 분모:

최대 Frequency Response 오차:

확인할 점

두 표현의 응답 차이가 1e-6 이하인가? 분모 최고차항 계수가 1이 되도록 모든 계수를 같은 값으로 나누어 비교했는가?
Step plot에 시간[s]과 출력, 충분한 기록 구간이 표시되어 있는가?

상쇄와 작은 계수 변화

시작 조건

B의 분자 [1,2]를 [1,2.1]로 바꾼 모델 D를 만듭니다. 두 모델의 분모는 [1,3,2]입니다.

진행 방법

B·D의 원래 Pole–Zero map과 minreal로 정리한 모델을 나란히 기록하세요.
동일한 Unit Step 입력에서 두 응답의 차이를 $0\le t\le 10$ s에 그리세요.
완전 상쇄와 근접 상쇄를 구분하고, 상쇄 전 모델도 남겨야 하는 이유를 설명하세요.

남길 결과

모델 차수 표와 응답 차이 그래프 각 1개.
상쇄 판정에 사용한 허용오차와 해석 짧은 설명.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
s = ctl.tf('s')
B=ctl.tf([1,2],[1,3,2]); D=ctl.tf([1,2.1],[1,3,2])
print(ctl.minreal(B),ctl.minreal(D))
# TODO: 같은 시간축에서 두 응답과 차이를 확인하세요.

결과 기록·자가 점검

모델:

원래 차수:

정리 후 차수:

최대 응답 차이:

확인할 점

D를 B와 똑같은 상쇄 모델로 단정하지 않았는가?
모델 표현의 차수와 실제 응답 차이를 구분했는가?