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3주차 · Linearity에서 Laplace Transform까지

실습 전에

01 알고 있는 반응을 활용하기

힘을 가했을 때의 움직임을 알고 있다면, 힘의 크기를 바꾸거나 여러 힘을 함께 가했을 때의 움직임도 예상할 수 있을까요?

설명

Linear 모델에서 Superposition 적용 가능
Input에 대한 응답 비교 시 Initial Condition을 0으로 두는 등 조건을 맞춰야 함

02 식을 다른 형태로 바꾸는 이유

시간에 따른 변화를 설명하는 Differential Equation이 있습니다. 같은 관계를 다른 형태로 표현하면 계산이나 시스템 연결이 더 쉬워질 수 있을까요?

설명

시간 관계를 s-domain의 대수 관계로 변환
모델의 연결과 응답 계산에 활용. Initial Condition은 별도 고려

실습

1. Linearity 반례

$3x$ , $x^2$ , $3x+1$ , $\cos(t)x$ , $\frac{dx}{dt}$ 의 Linearity와 Time Invariance를 각각 판별하고 이유를 적으세요.

2. Linear Approximation

노트북의 $x$ 범위와 간격을 유지하고, 각 $x$ 에서 $|\sin x-x|$ 를 계산하세요. 오차가 $0.01$ 이하인 표본을 고른 뒤, 그중 $0$ 을 포함해 연속으로 이어진 구간의 양 끝 $x$ 를 적으세요.
$x\in\{0.1,0.5,1\}$ rad에서 $\sin x$ , 근삿값 $x$ , 절대 오차 $|\sin x-x|$ , 허용조건 충족 여부를 표로 기록하세요.

3. Laplace Transform

$u(t)$ 는 $t=0$ 에서 0에서 1로 바뀌어 유지되는 Unit Step입니다.

$e^{-2t}$ , sin(4t)의 Transform·Inverse를 확인하고 $\ddot x+4\dot x+3x=6u(t)$ , Initial Condition이 모두 0일 때의 해를 구하세요.
얻은 해를 원래 식에 대입해 검증하세요.
Toolbox가 없으면 $X(s)=\frac6{s(s+1)(s+3)}$ 을 $\frac As+\frac B{s+1}+\frac C{s+3}$ 으로 분해하여 계수를 구한 뒤 exp 형태의 해와 도함수를 직접 작성해 검증하세요.

제출·저장

코드, 실제 Output·그래프, 직접 작성한 해석을 포함하세요. 제출은 KLAS를 이용하며 기한은 학기 일정과 최신 공지를 확인합니다.

파일명: 이름_학번_3주차.mlx.

실행 환경을 다시 시작하고 전체 코드를 위에서부터 실행한 뒤 저장하세요.

선택 실습

예: Degree 값을 Radian 입력으로 넣은 경우

30°의 sine을 구하려고 sin(30)을 쓴 경우를 살펴보세요. 이 결과와 sind(30)을 기록하세요.
sin을 그대로 쓴다면 입력 줄을 sin(pi/6)으로 수정하세요. 수정 전후 값과 입력 단위를 적으세요.