Control Engineering 1 · Week 13 · P와 PI의 Steady-State Error 비교하기

실행 방법

1. Steady-State Error 계산

• 실습용 Live Script의 ‘3. P와 PI의 Step 추종’ 코드에서 $C_{\mathrm{PI}}(s)=10+\frac5s$와 $G(s)=\frac1{0.5s+1}$를 사용하세요.
• 실행 전에 $L(s)=C_{\mathrm{PI}}(s)G(s)$와 $1+L=0$에서 얻는 특성다항식을 손으로 쓰세요.
• 2차 다항식의 세 계수가 양수이면 두 Pole의 실수부가 음수라는 기준으로 안정성을 확인하세요.

• L의 원점 Pole 수로 System Type을 정하고 $K_p=\lim_{s\to0}L(s)$, $K_v=\lim_{s\to0}sL(s)$를 구하세요.
• 안정성을 확인한 뒤 Unit Step 오차 $\frac1{1+K_p}$와 Unit Ramp 오차 $\frac1{K_v}$를 계산하고 실행 결과와 비교하세요.
• 이 계산을 $K_i$=5의 기준 기록으로 사용합니다.

2. Pole 위치 비교

1. 각 분모를 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$에 대응시켜 $\omega_n,\zeta$를 구하고 두 행으로 기록하세요.
2. T1의 ζ를 유지하고 $\omega_n$만 T2의 값으로 바꾼 모델을 만드세요. 분자는 $\omega_n^2$로 두어 DC Gain을 유지합니다.
3. 같은 시간축에서 T1과 새 모델의 Step Response를 겹쳐 그리고 stepinfo의 Rise Time·Settling Time·Overshoot를 표로 적으세요. 원래 T1·T2 비교와 달리 이번에 고정한 계수가 무엇인지 적으세요.

3. P와 PI의 Step 추종

1. 기준 Plant G=1/(0.5*s+1)는 유지하고 P Gain $K_p=20$의 Closed-loop를 만드세요. 이론적인 Unit Step 오차 $1/(1+K_p)$와 1-dcgain(Tp)를 나란히 기록하세요.
2. PI의 $K_p=10$은 유지하고 $K_i\in\{2,5,10\}$을 각각 적용하세요. 같은 시간축에 Unit Step 곡선 세 개를 그리고 범례에 $K_i$를 적으세요.
3. $K_i$별로 1-dcgain(Tpi), stepinfo(Tpi)의 Settling Time·Overshoot를 기록하세요. 최종 오차와 Transient Response 지표를 나누어 대조합니다.

4. Ramp 추종

1. 실습용 Live Script의 ‘4. Ramp 추종’ 코드의 Loop $L(s)=(10+10/s)G(s)$를 만들고, 분모의 원점 Pole 수로 System Type을 정하세요. $G(s)$는 앞 활동과 같습니다.
2. $K_v=\lim_{s\to0}sL(s)$를 구하고 Unit Ramp 오차 $1/K_v$를 계산하세요.
3. 같은 시간축과 Ramp 입력을 유지하고, 이 활동에 주어진 적분 Gain 10을 사용하도록 코드의 적분 Gain 5를 바꾸어 PI 모델을 다시 만드세요. 이어서 lsim으로 출력 y를 구하세요. 마지막 표본의 $r-y$와 계산한 $1/K_v$를 나란히 적고 두 값의 절대 차이를 기록하세요.

반복 숙달과 제출 전 확인

1. 실습용 Live Script의 ‘3. P와 PI의 Step 추종’ 코드 복사본에서 PI=10+5/s를 PI=10+5로 바꾸고, feedback(PI*G,1)를 다시 만드세요.
2. 변경 전후의 1-dcgain(Tpi)를 기록하고, 원점 Pole이 있는지 대조하세요. Controller 정의 줄만 10+5/s로 바꾸세요.