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Second-Order System의 Damping Ratio와 Natural Frequency

제어공학1 · 12주차

이번 주 목표 · Natural Frequency(자연진동수)와 Damping Ratio를 계산하고 응답 지표로 검증합니다.

실행: MathWorks 로그인 후 내 작업 공간의 .mlx를 엽니다. 코드 안 클릭 → Live Editor → Run Section으로 한 Section씩 실행하세요. Run은 전체 실행입니다. 값 수정 후에는 관련 Section을 다시 실행해야 합니다. ⟦직접 입력⟧ 작성란은 설명을 직접 수정하며 실행하지 않습니다. Windows/Linux는 Ctrl+Enter, Mac은 ⌘+Enter를 사용할 수 있습니다.

응답의 빠르기와 진동 비교하기

표준 2차 모델의 Natural Frequency와 Damping Ratio를 바꿔 Transient Response를 먼저 연습합니다. 다음 실습에서는 P·PI 제어기를 비교하며 System Type과 Steady-State Error를 살펴봅니다. 이번에는 빠르게 움직이는지와 얼마나 진동하는지를 따로 읽는 데 집중하세요.

1. 계수를 표준형과 맞추기

T(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2T(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}에서 ωn은 Natural Frequency, ζ는 Damping Ratio입니다. G=K1s(s+K2)G=\frac{K_1}{s(s+K_2)}에 Unity Negative Feedback을 적용하면 T=G1+G=K1s2+K2s+K1T=\frac G{1+G}=\frac{K_1}{s^2+K_2s+K_1}입니다. 표준형의 같은 차수 계수를 비교하면 ωn2=K1,2ζωn=K2\omega_n^2=K_1,\quad2\zeta\omega_n=K_2입니다. 따라서 K1>0에서 ωn=K1\omega_n=\sqrt{K_1}, ζ=K22K1\zeta=\frac{K_2}{2\sqrt{K_1}}을 얻습니다.

계수를 표준형과 맞추기

분모의 s² 계수가 1이 아니면 분자와 분모 전체를 그 계수로 나누어 표준형과 비교하세요. 단순히 상수항에 제곱근을 취하면 잘못된 ωn을 얻게 됩니다.

2. 한 파라미터씩 비교

K1=25,K2=4 기준에서 시작합니다. 다음에는 ωn=5를 고정하고 ζ=0.1,0.3,0.7,1.2를 비교합니다. 같은 그래프의 Legend(범례)에 ζ를 적어 각 곡선의 의미를 분명히 하세요.

한 파라미터씩 비교

0<ζ<1은 Underdamped, ζ=1은 Critically Damped, ζ>1은 Overdamped입니다. 이 분류는 표준 2차 모델의 정의이며, 고차 모델 전체를 한 ζ로 요약할 때는 주의합니다.

3. 근사식과 실제 측정 나누기

Ts≈4/(ζωn)은 2% 정착 기준의 설계 근사입니다. 0<ζ<1일 때 Mp=100exp(−ζπ/√(1−ζ²))입니다. 선택한 값을 MATLAB stepinfo로 다시 검증하세요.

근사식과 실제 측정 나누기

MATLAB 반환 필드는 Overshoot와 SettlingTime입니다. PercentOvershoot라는 필드명으로 접근하지 마세요. 정착 임계값은 SettlingTimeThreshold=0.02로 명시합니다.

4. 설계는 조건을 동시에 만족하기

설계 실습의 목표는 Ts≤2T_s\le2초, Mp≤10%M_p\le10\%입니다. Damping Ratio로 진동을 줄이고 Natural Frequency로 속도를 조절한 뒤 두 조건 모두를 검사합니다. 만족 여부와 선택 근거를 함께 기록하세요.

설계는 조건을 동시에 만족하기

근사식이 만족해도 실제 Settling Time이 다를 수 있습니다. 경계보다 여유 있는 값을 선택하고 결과 그래프와 수치가 일치하는지 확인합니다.

학습 내용 확인

  1. 코드에 넣을 값은 무엇이며, 결과 배열의 각 행·열은 무엇을 뜻하나요? 물리량을 계산한다면 단위도 확인했나요?
  2. 조건을 하나 바꿨을 때 다시 실행해야 하는 부분을 찾을 수 있나요?
  3. 실행 결과가 예상과 맞나요? 다르다면 출력값이나 그래프를 보고 이유를 설명할 수 있나요?

MATLAB 공식 문서 · Control System Toolbox

실습 자료