Frequency-Domain Stability · 학습
실행 준비
Python 경로는 python-control을 사용합니다. 모듈이 없으면 Colab·Jupyter의 코드 셀에서 %pip install control==0.10.2를 실행하세요.
이번에 배울 내용
Time Response를 모두 돌리기 전에, Frequency Response와 열린 고리의 Pole로 안정성을 판단해 봅니다.
전체 흐름
열린 고리 Pole → Nyquist 궤적 → 안정 여유 → Closed-loop Pole 확인
Nyquist와 열린 고리의 Pole
−1 주위의 궤적만 세면 안정성을 잘못 판단할 수 있습니다. 열린 고리의 우반평면 Pole 수와 둘러싸는 방향의 부호를 함께 사용하고, 직접 계산한 Closed-loop Pole로 확인합니다.
안정 여유를 해석하는 조건
Gain Crossover Frequency는 Open-loop 응답의 크기가 1인 주파수입니다. 이 주파수의 Phase와 −180° 사이의 차이가 Phase Margin입니다.
Phase가 −180°인 주파수에서는 응답 크기의 역수가 Gain Margin입니다. Bode plot에 교차점을 표시하면 두 Margin이 어디서 계산되었는지 볼 수 있습니다.
Frequency Response와 Closed-loop Pole 확인
L(s)=5/((s+1)(s+2)(s+3))의 Nyquist 궤적과 Closed-loop Pole을 확인합니다. 이 예는 열린 고리에 우반평면 Pole이 없습니다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
s=ctl.tf('s')
L=5/((s+1)*(s+2)*(s+3));omega=np.logspace(-3,3,1000)
z=np.array([ctl.evalfr(L,1j*w) for w in omega])
plt.plot(z.real,z.imag,label='positive frequency');plt.plot(z.real,-z.imag,linestyle='--',label='negative frequency');plt.scatter([-1],[0],marker='x',label='-1');plt.xlabel('Real');plt.ylabel('Imaginary');plt.axis('equal');plt.grid();plt.legend()
print('Closed-loop poles:',ctl.poles(ctl.feedback(L,1)))
Closed-loop poles: [-3.90416086+0.j -1.04791957+1.31124804j -1.04791957-1.31124804j]
