State Feedback과 Observer

학습 목표

위치만 측정하는 시스템에서 속도를 추정해 제어하고, 추정 속도와 잡음 민감도를 함께 비교합니다.

측정값으로 상태를 구분할 수 있는가

시작 조건

위치[m]·속도[m/s]를 상태로 하는 $\dot x=Ax+Bu$ , $y=Cx$ 입니다. $A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ , $C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$ 을 사용합니다.

진행 방법

가제어 행렬 [B,AB]와 가관측 행렬 [C;CA]를 만들고 rank를 구하세요.
B를 영벡터로 바꾼 경우와 $C=\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}$ 인 경우를 각각 비교하세요.
입력이 작용하지 않는 경우와 측정이 없는 경우를 구분해 설명하세요.

남길 결과

세 조건의 두 rank와 가능한 설계의 비교표.

import numpy as np
A=np.array([[0.,1.],[-2.,-3.]])
B=np.array([[0.],[1.]])
C=np.array([[1.,0.]])
for label,b,c in [('base',B,C),('no input',0*B,C),('no sensor',B,0*C)]:
    ctrb=np.column_stack([b,A@b]);obsv=np.vstack([c,c@A])
    print(label,np.linalg.matrix_rank(ctrb),np.linalg.matrix_rank(obsv))
# TODO: 각 조건에서 설계할 수 있는 것과 없는 것을 적으세요.

결과 기록·자가 점검

조건:

Controllability rank:

Observability rank:

설계 가능 여부:

확인할 점

기준 모델의 두 rank가 모두 2인가?
rank가 부족한 모델에 Pole placement를 그대로 적용하지 않았는가?

State Feedback과 Observer를 연결하기

시작 조건

$u=-K\hat x+8r$ , $r=1$ 입니다. 제어 Pole은 −2,−4, Observer Pole은 −8,−10입니다. $x(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ , $\hat x(0)=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ 입니다.

진행 방법

K와 L을 계산하고 $A-BK$ , $A-LC$ 의 고유값을 대조하세요.
실제 상태와 추정 상태를 동시에 적분해 0–4 s의 위치·속도와 추정 오차를 그리세요.
추정 오차가 줄어드는 과정과 출력이 목표값으로 가는 과정을 구분하세요.

남길 결과

위치·추정 위치, 속도·추정 속도의 두 그래프와 최종 추정 오차.

from scipy.signal import place_poles,StateSpace,lsim
import matplotlib.pyplot as plt
K=place_poles(A,B,[-2.,-4.]).gain_matrix
L=place_poles(A.T,C.T,[-8.,-10.]).gain_matrix.T
a_aug=np.block([[A,-B@K],[L@C,A-B@K-L@C]])
b_aug=np.vstack([8*B,8*B])
t=np.linspace(0,4,801)
_,z,_=lsim(StateSpace(a_aug,b_aug,np.eye(4),np.zeros((4,1))),np.ones(len(t)),t,X0=[1,0,0,0])
fig,axes=plt.subplots(2,1,sharex=True)
for j,ax in enumerate(axes):
    ax.plot(t,z[:,j],label='state');ax.plot(t,z[:,j+2],'--',label='estimate');ax.legend();ax.grid()
axes[0].set_ylabel('Position [m]');axes[1].set_ylabel('Velocity [m/s]');axes[-1].set_xlabel('Time [s]')
print('final estimation error:',np.linalg.norm(z[-1,:2]-z[-1,2:]))
# TODO: 제어 극점과 Observer 극점을 출력해 대조하세요.

결과 기록·자가 점검

제어 Pole:

Observer Pole:

최종 오차:

확인할 점

계산한 $K$ , $L$ 을 대입한 $A-BK$ , $A-LC$ 의 Eigenvalue가 각각 지정한 제어 Pole과 Observer Pole에 일치하는가?
$t=4$ s에서 위치·속도의 추정 오차가 각각 1e-6 m, 1e-6 m/s보다 작은가?

Observer를 빠르게 하면 항상 좋은가

시작 조건

측정에 n(t)=0.02sin(40t)를 더합니다. Observer Pole (−8,−10), (−20,−25)를 비교하고 제어기 K는 고정합니다.

진행 방법

실습용 노트북의 함수에 두 Observer 설정을 넣고 같은 시간축에서 제어입력 u를 비교하세요.
1 s 이후의 위치 오차 RMS, 속도 오차 RMS, 제어입력 RMS를 각각 구하세요.
초기 추정 오차의 수렴과 측정 잡음에 대한 반응을 별개로 해석하세요.

남길 결과

제어입력 곡선과 세 RMS의 비교표, 선택할 설정의 근거.

def noisy_observer(poles):
    L=place_poles(A.T,C.T,poles).gain_matrix.T
    aa=np.block([[A,-B@K],[L@C,A-B@K-L@C]])
    bb=np.block([[8*B,np.zeros((2,1))],[8*B,L]])
    inputs=np.column_stack([np.ones(len(t)),.02*np.sin(40*t)])
    _,z,_=lsim(StateSpace(aa,bb,np.eye(4),np.zeros((4,2))),inputs,t,X0=[1,0,0,0])
    u=8-(z[:,2:]@K.T).ravel();keep=t>=1
    return u,np.sqrt(np.mean((z[keep,:2]-z[keep,2:])**2,axis=0)),np.sqrt(np.mean(u[keep]**2))
for poles in [(-8,-10),(-20,-25)]:
    u,err,rms=noisy_observer(poles);plt.plot(t,u,label=str(poles));print(poles,err,rms)
plt.xlabel('Time [s]');plt.ylabel('u [N]');plt.legend();plt.grid()
# TODO: 두 설정 중 무엇을 택할지 지표를 근거로 설명하세요.

결과 기록·자가 점검

Observer Pole:

위치 오차 RMS [m]:

속도 오차 RMS [m/s]:

입력 RMS [N]:

선택 근거:

확인할 점

두 설정의 잡음·Initial Condition·시간 간격이 같은가?
오차와 입력을 한 지표로 혼동하지 않았는가?

공식 예제·데이터

SciPy · Pole placement