강의자료 · 제어공학2

Transfer Function

실행 조건

MATLAB · Control System Toolbox

학습 목표

같은 계수라도 연결 방식이나 상쇄 조건에 따라 응답이 달라집니다. 계수에서 동작을 예측하는 연습입니다.

계수에서 Pole·Zero로

  • num: 분자 다항식의 계수 배열.
  • den: 분모 다항식의 계수 배열.
  • 배열 순서: 차수가 높은 항부터.

시작 조건

  • A: num=[2]\mathrm{num}=[2], den=[5,1]\mathrm{den}=[5,1].
  • B: num=[1,2]\mathrm{num}=[1,2], den=[1,3,2]\mathrm{den}=[1,3,2].
  • C: num=[1,1]\mathrm{num}=[1,1], den=[1,2,5]\mathrm{den}=[1,2,5].

진행 방법

  1. A를 기준 예제로 실행하세요. 분자·분모를 다항식으로 쓰고 roots와 pole/zero로 계산합니다.
  2. B와 C에도 같은 절차를 적용하세요. 분자·분모의 차수와 유한 Zero 개수를 구분하고, 복소근은 실수부·허수부를 함께 기록합니다.
  3. 세 모델의 Pole·Zero를 한 복소평면에 표시하세요. Pole은 ×, Zero는 ○로 구분하고 모델별 색을 달리합니다.

남길 결과

  • 모델당 한 행인 표 1개와 Pole–Zero map 1개.
  • A의 예시 수준: H(s)=2/(5s+1), Pole -0.2, 유한 Zero 없음. B·C는 직접 채웁니다.
  • 계수와 근이 어떻게 연결되는지 간단히 설명합니다.
s=tf('s');
models={tf(2,[5 1]),tf([1 2],[1 3 2]),tf([1 1],[1 2 5])};
H_A=models{1}; disp(H_A); disp(pole(H_A)); disp(zero(H_A)); disp(dcgain(H_A));
% TODO: B, C의 표와 복소평면 그림을 완성하세요.
 

결과 기록·자가 점검

모델
H(s)
Pole
유한 Zero
DC Gain

확인할 점

  • 계수로 직접 구한 근과 라이브러리 결과가 순서를 제외하고 일치하는가?
  • DC Gain은 분모의 상수항이 0이 아닐 때 상수항의 비와 일치하는가?

직렬·병렬·Feedback 대조

시작 조건

H1(s)=2sH_1(s)=\frac2s, H2(s)=34s+1H_2(s)=\frac3{4s+1}. Feedback은 H1H2H_1H_2에 대한 음의 단위 Feedback입니다.

진행 방법

  1. Hs=H1H2H_s=H_1H_2, Hp=H1+H2H_p=H_1+H_2, T=Hs1+HsT=\frac{H_s}{1+H_s}를 식으로 구하세요.
  2. series, parallel, feedback로 같은 모델을 만들고, ω=[0.1,1,10] rad/s에서 직접 만든 식과 비교하세요.
  3. T의 Unit Step을 0≤t≤500\le t\le 50 s에서 그리세요. Hs·Hp의 원점 Pole과 DC Gain의 의미를 구분합니다.

남길 결과

  • 연결 3종의 계수 표 1개와 T의 Step plot 1개.
  • 오차는 같은 주파수에서 복소 응답 차이의 절댓값으로 기록합니다.
s=tf('s'); H1=tf(2,[1 0]); H2=tf(3,[4 1]);
Hs=series(H1,H2); Hp=parallel(H1,H2); T=feedback(Hs,1); disp(Hs); disp(Hp); disp(T);
t=linspace(0,50,2501)'; figure; step(T,t); xlabel('Time [s]'); ylabel('Output'); grid on
% TODO: 직접 구한 Transfer Function과 같은 주파수에서 대조하세요.
 

결과 기록·자가 점검

연결
직접 구한 분자
직접 구한 분모
최대 Frequency Response 오차

확인할 점

  • 두 표현의 응답 차이가 1e-6 이하인가? 분모 최고차항 계수가 1이 되도록 모든 계수를 같은 값으로 나누어 비교했는가?
  • Step plot에 시간[s]과 출력, 충분한 기록 구간이 표시되어 있는가?

상쇄와 작은 계수 변화

시작 조건

B의 분자 [1,2]를 [1,2.1]로 바꾼 모델 D를 만듭니다. 두 모델의 분모는 [1,3,2]입니다.

진행 방법

  1. B·D의 원래 Pole–Zero map과 minreal로 정리한 모델을 나란히 기록하세요.
  2. 동일한 Unit Step 입력에서 두 응답의 차이를 0≤t≤100\le t\le 10 s에 그리세요.
  3. 완전 상쇄와 근접 상쇄를 구분하고, 상쇄 전 모델도 남겨야 하는 이유를 설명하세요.

남길 결과

  • 모델 차수 표와 응답 차이 그래프 각 1개.
  • 상쇄 판정에 사용한 허용오차와 해석 짧은 설명.
B=tf([1 2],[1 3 2]); D=tf([1 2.1],[1 3 2]); disp(minreal(B)); disp(minreal(D));
% TODO: 같은 시간축에서 B, D의 Unit Step과 두 응답의 차이를 그리세요.
 

결과 기록·자가 점검

모델
원래 차수
정리 후 차수
최대 응답 차이

확인할 점

  • D를 B와 똑같은 상쇄 모델로 단정하지 않았는가?
  • 모델 표현의 차수와 실제 응답 차이를 구분했는가?