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12주차 · Second-Order System의 Damping Ratio와 Natural Frequency

실습 전에

01 응답의 속도와 진동

빠르게 움직이면서 목표를 지나쳐 흔들리지 않게 만들고 싶습니다. Overshoot를 줄이고 Settling Time을 짧게 하려면 어떤 Parameter를 조절해야 할까요?

설명

표준 2차 모델에서는 Natural Frequency와 Damping Ratio로 응답의 시간 규모와 진동 특성을 살펴볼 수 있습니다.
각 값을 바꿔 그래프를 비교하면서, 모델의 계수와 실제 움직임의 관계를 확인합니다.

02 여러 조건을 만족하는 설계

원하는 빠르기와 허용할 진동의 크기를 정했습니다. 두 조건을 만족하는 모델을 어떻게 찾고 확인할 수 있을까요?

설명

여러 Parameter 조합이 조건을 만족할 수 있음
근사식으로 후보를 찾고 실제 모델 응답으로 조건 충족 여부 검증

실습

1. 성능 조건과 설계 범위 계산

코드의 wn 초기값 4를 이 활동의 조건인 5로 바꾸세요.
실습용 Live Script의 ‘4. 설계 후 검증’ 코드의 첫 실행은 $\zeta=0.7,\quad\omega_n=5$ 로 하세요.
먼저 $M_p=100e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ [%], $T_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}$ 로 Overshoot와 Settling Time을 손으로 구하세요.
수치 비교에는 $e^{-0.7\pi/\sqrt{0.51}}\approx0.046$ 을 사용하세요.

$M_p\le10\%$ , $T_s\le2$ s를 각각 만족하는지 판단하고, $\zeta=0.7$ 을 유지할 때 $T_s$ 조건을 만족하는 $\omega_n$ 의 범위를 부등식으로 구하세요.
그 뒤 $\omega_n$ 을 5로 수정하고 stepinfo를 실행해 근사식과 측정 결과를 비교하세요.
이 조건을 기존 설계 조합 중 한 개로 기록하세요.

2. 표준형 변환

다음 두 조합에서 Natural Frequency $\omega_n=\sqrt{K_1}$ 과 Damping Ratio $\zeta=K_2/(2\omega_n)$ 를 계산하세요: $(K_1,K_2)=(9,3)$ , $(16,8)$ .
조합별 $\omega_n$ , $\zeta$ , Damping 유형을 한 행에 기록하세요. Damping 유형은 계산한 $\zeta$ 를 기준으로 판별합니다.

3. Damping Ratio 비교

같은 $\zeta$ 에서 $\omega_n$ 만 두 배로 바꾸고, 변경 전후 모델의 stepinfo를 구하세요.
$\zeta$ , $\omega_n$ , Overshoot, Rise Time, Settling Time을 변경 전후 두 행에 기록하세요.
Overshoot가 거의 같은지, 두 시간 지표가 원래 값의 약 절반이 되는지 비교하세요. Damping Ratio를 고정했을 때 Natural Frequency가 주로 어느 지표를 바꾸는지 적으세요.

4. 설계 후 검증

기준 조합 이외에 $\zeta$ , $\omega_n$ 조합 두 개를 정해, 기존 조건인 Overshoot $\le10\%$ , Settling Time $\le2$ s를 만족하도록 설계하세요.
각 모델의 stepinfo에서 Overshoot·Settling Time을 읽어 두 조건의 충족 여부를 각각 적으세요. 계산한 근사식만으로 판정하지 말고 모델의 지표와 대조합니다.
조건을 만족하지 않는 조합도 하나 기록하세요. 표의 열은 $\zeta$ , $\omega_n$ , Overshoot, Settling Time, 각 조건의 충족 여부로 구성하고, 실패한 지표를 표시하세요.

제출·저장

코드, 실제 Output·그래프, 직접 작성한 해석을 포함하세요. 제출은 KLAS를 이용하며 기한은 학기 일정과 최신 공지를 확인합니다.

파일명: 이름_학번_12주차.mlx.

실행 환경을 다시 시작하고 전체 코드를 위에서부터 실행한 뒤 저장하세요.

선택 실습

예: Second-Order 분모에서 Natural Frequency를 빠뜨린 경우

zeta=.7, wn=4를 유지한 채, 분모 [1 2*zeta*wn wn^2]를 [1 2*zeta wn^2]로 바꾼 모델을 별도로 만드세요.
두 모델의 Pole과 stepinfo의 Settling Time·Overshoot를 나란히 기록하세요. 분모의 두 번째 계수만 2*zeta*wn으로 바꾸어 다시 계산하세요.