Laplace Transform

시간 영역의 Differential Equation을 변환해 푼 답이 원래 문제를 만족하는지 직접 검증합니다.

시작 조건

$D=\frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2}$를 약분합니다. 값 비교에는 $x\in\{0,3\}$을 사용합니다.

진행 방법

1. D를 약분하고, 원래 분모가 0이 되는 x를 따로 표시하세요.
2. $x\in\{0,3\}$에서 약분 전후 값이 같은지 확인하세요. $x\in\{1,2\}$는 왜 같은 방식으로 확인할 수 없는지 설명합니다.

남길 결과

• 약분 전후 식과 제외할 값, 두 점의 대입 결과.

시작 조건

t>0에서 $f(t)=e^{-2t}$를 변환하고 다시 역변환합니다.

진행 방법

1. sym.laplace_transform과 inverse_laplace_transformlaplace와 ilaplace를 사용해 변환·역변환을 구하세요.
2. $t\in\{.5,1,2\}$에서 원래 함수와 복원한 함수의 값을 대조하세요.
3. 변환식의 Pole −2와 시간 영역의 감쇠 항 $e^{-2t}$를 연결해 설명하세요.

남길 결과

• F(s)·복원한 함수·수치 차이의 짧은 표.

시작 조건

$\dot y+2y=1$, y(0)=0과 y(0)=1을 비교합니다. 입력은 t≥0의 단위 계단입니다.

진행 방법

1. 미분항의 Laplace Transform을 쓰고 Initial Condition을 대입해 $(s+2)Y(s)=\frac1s+y(0)$를 얻으세요.
2. 이 식의 양변을 $s+2$로 나누어 $Y(s)$를 구하세요. 두 Initial Condition을 각각 대입하고 역변환한 $y(t)$를 $0\le t\le4$ s에 함께 그리세요.
3. 각 $y(t)$에서 $\frac{dy}{dt}+2y-1$과 $y(0)-y_0$를 계산하세요. 두 잔차를 Initial Condition별로 기록하고 0인지 판단하세요.

남길 결과

• 두 응답 곡선과 잔차 표, Initial Condition의 역할 짧은 설명.